递推、错排公式

以前刚接触ACM时做11页，有挺多题不懂的。最近据某人说校纳新赛和杭电11页差不多，于是顺便又回来补上，收获不少，对递推有了更深的理解.

Solved	Pro.ID	Title	Author	Source	(AC/Submit)Ratio
	2044	一只小蜜蜂...	lcy	递推求解专题练习（For Beginner）	(7342/19929)36.84%
	2045	不容易系列之(3)—— LELE的RPG难题	lcy	递推求解专题练习（For Beginner）	(6245/15736)39.69%
	2046	骨牌铺方格	lcy	递推求解专题练习（For Beginner）	(7318/15227)48.06%
	2047	阿牛的EOF牛肉串	lcy	递推求解专题练习（For Beginner）	(5338/11408)46.79%
	2048	神、上帝以及老天爷	lcy	递推求解专题练习（For Beginner）	(5231/12304)42.51%
	2049	不容易系列之(4)——考新郎	lcy	递推求解专题练习（For Beginner）	(4456/11745)37.94%
	2050	折线分割平面	lcy	递推求解专题练习（For Beginner）	(6391/9090)70.31%

2045 ( 不容易系列之(3)—— LELE的RPG难题 )

#include<cstdio>
#define MAXN 52

__int64 arr[MAXN];

int main()
{
    int n,i;
     arr[1]=3,arr[2]=6,arr[3]=6;
     for(i=4; i<MAXN; ++i)
         arr[i]=arr[i-1]+2*arr[i-2];
/*
arr[i]=arr[i-1]+2*arr[i-2];

在arr[i]时，可以由arr[i-1]和arr[i-2]得到，

arr[i-1]:  由于arr[i-1]和arr[1]不一样，所以arr[i]只能选择一种（arr[i]和arr[i-1]相邻且要和arr[0]不同）

arr[i-2]:  这时arr[i-1]不是最后一个，所以这个位置可以选两种颜色（只要和arr[i-2]不同就行了），
	       选好后arr[i]就只能选一种。

 */
    while(scanf("%d",&n)==1){
        printf("%I64d\n",arr[n]);
    }
    return 0;
}

2046 ( 骨牌铺方格

#include<cstdio>
#define MAXN 52
__int64 f[MAXN];

int main()
{ 
    int i,n;
    f[0]=0, f[1]=1, f[2]=2;
    for(i=3; i<MAXN; ++i)
        f[i] = f[i-1]+f[i-2];
/*
 f[i] = f[i-1]+f[i-2];

f[i-1]:  只能加一块竖着放的
f[i-2]:  两块横着叠在一起

两种都是只有一种情况
*/

    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        printf("%I64d\n",f[n]);
    }

    return 0;
}

2047 ( 阿牛的EOF牛肉串 )

/*
对于一串字符，分为两种情况：

(1) 不以O结尾的， 如EF，那么它接下来有三种情况: EFF、EFE、EFO
	注意，有两个是不以O结尾的，一个是以O结尾的

(2) 以O结尾的，如EO,那么它接下来只有两种情况， EOF、EOE。
	且这两种情况都不以O结尾

那么可以推导出，对于某一次的情况，它以O结尾的个数是，上一次不以O结尾的个数
不以O结尾的个数是上一次 “不以O结尾的”的两倍 加上上次 “以O结尾的”的两倍。
可以得出递推方程


f1[i] = f2[i-1];              // f1保存以O结尾的个数
f2[i] = f1[i-1]*2+f2[i-1]*2;  // f2保存不以O结尾的个数

得出了这两个，总数也自然就求出来了
f[i] = f1[i]+f2[i];  // f保存总数

*/

#include<cstdio>
#define MAXN 52

__int64 f[MAXN],f1[MAXN],f2[MAXN];

int main()
{
    int n,i;
    f1[1]=1,f2[1]=2,f[1]=3;
    // f1为以 O 结尾的个数，f2为以E、F结尾的个数
    for(i=2; i<=40; ++i){
        f1[i] = f2[i-1];    
        f2[i] = f1[i-1]*2+f2[i-1]*2;

        f[i] = f1[i]+f2[i];
    }
    while(scanf("%d",&n)==1){
        printf("%I64d\n",f[n]);
    }
    
    return 0;
}

错排公式（1462,2048，2049）：

某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。

分析思路：

1、当N=1和2时，易得解～，假设F(N-1)和F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况：

2、当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装

3、前者，对于每种错装，可从N-1封信中任意取一封和第N封错装，故=F(N-1)*(N-1)

4、后者简单，只能是没装错的那封和第N封交换信封，没装错的那封可以是前面N-1封中的任意一个，故= F(N-2) * (N-1)

基本形式：d[1]=0; d[2]=1
递归式：d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])

这就是著名的错排公式。

2048 ( 神、上帝以及老天爷 )

/*
错排公式

全部抽错的概率，即全部排错的情况个数除与的全排列个数

*/

#include<cstdio>
#define MAXN 52

__int64 f[MAXN],f1[MAXN],f2[MAXN];
double ans[MAXN];

int main()
{
    int C,n,i;
    f[1]=0,f[2]=1;

    __int64 sum=2;
    ans[2]=0.5;
    for(i=3; i<=20; ++i){
        sum *= i;
        f[i] = (i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
        ans[i] = f[i]*1.0/sum;
    }
    scanf("%d",&C);
    while(C--){
        scanf("%d",&n);
        printf("%.2f%%\n",ans[n]*100);
    }  
    return 0;
}

—— 生命的意义，在于赋予它意义。

原创http://blog.csdn.net/shuangde800，By D_Double