多进程DP

传纸条

http://www.rqnoj.cn/Problem_400.html

【问题分析】
这个题目要求我们在一个给定的矩阵中选择不相交的两条路径（首尾除外，而且必须相交），使得路径上的所有数和最大。
【算法描述】
这类题目有两种做法，一种是动态规划，一种是最小费流。由于最小费流实现比较复杂，没有什么实际意义，所以不再赘述。
由于两条路径的长度相等，可以用f[k][p][q][x][y]表示在前k的长度中，两条路径的结束点分别在(p,q)、(x,y)的最大权值。显然，这个状态是满足无后效性的，因为路径不可以掉头。而且同时也满足最优性原理，因为当前这个状态必然由若干个子状态演变而来。
可以写出下面的状态转移方程：
f[k][p][q][x][y]=max{f[k-1][p’][q’][x’][y’]}+val[p][q]+val[x][y]
这里，val[i][j]表示第i行第j列的数字大小，要求(p,q)与(p’,q’)相邻，(x,y)与(x’,y’)相邻，而且(p’,q’)≠(x’,y’)。
状态初始化为f[1][1][1][1][1]=val[1][1]。
分析一下算法的复杂度，时间复杂度为O(n3)，空间复杂度为O(n5)。由于n≤50，使得使用的空间最大可以达到1.2GB，显然是不可以接受的，我们要对其进行优化。
一个事实是这样的：如果知道了长度k和横坐标x，那么可以计算出纵坐标y。所以状态可以压缩为f[k][p][x]，这样在空间上就可以接受了。但是记录步数需要2n+1的维度，而
2
NOIP2008 提高组解题报告 2009-1-4
如果知道了坐标，就可以算出步数，所以状态可以更改为f[p][q][x]，这样比刚才优化过的状态少使用了一半的空间。至此，空间上仅仅使用了488KB，可谓优化效果明显。
【题目小结】
这道题目是2001分区联赛的原题目，在曹老师的《数学建模》讲义中也出现过。就难度而言并不算难题，但是很多人因为内存的问题而丢掉了一道题目的分数。要求我们在审题的时候要注意每一个细节。

	dp[x1][y1][x2][y2]=max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2],dp[x1-1][y1][x2][y2-1],
		dp[x1][y1-1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2][y2-1])+map[x1][y1];
	if(x1!=x2 || y1!=y2)
		dp[x1][y1][x2][y2] += map[x2][y2];

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define MAXN 52
using namespace std;

int dp[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN],map[MAXN][MAXN];
int Max(int a,int b){
	return a>b?a:b;
}
int max(int a,int b,int c,int d){
	int t1=Max(a,b);
	int t2=Max(c,d);
	return Max(t1,t2);
}

int main()
{
	freopen("input.txt","r",stdin);
	int m,n,i,j,x1,y1,x2,y2;
	while(scanf("%d %d",&m,&n)!=EOF){
		for(i=1; i<=m; ++i){
			for(j=1; j<=n; ++j)
				scanf("%d",&map[i][j]);
		}
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(x1=1; x1<=m; ++x1){
			for(y1=1; y1<=n; ++y1){
				for(x2=1; x2<=m; ++x2){
					for(y2=1; y2<=n; ++y2){
						dp[x1][y1][x2][y2]=max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2],dp[x1-1][y1][x2][y2-1],
							dp[x1][y1-1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2][y2-1])+map[x1][y1];
						if(x1!=x2 || y1!=y2)
							dp[x1][y1][x2][y2] += map[x2][y2];
					}
				}
			}
		}
		printf("%d\n",dp[m][n][m][n]);
	}
	return 0;
}

开三维数组的方法：

由于只能走右或下，所以坐标满足x+y=k。这样就能降低维数为3维，方程(核心代码)：

	// 核心代码
	dp[k][x1][x2]=max(dp[k-1][x1][x2],dp[k-1][x1-1][x2-1],
		dp[k-1][x1-1][x2],dp[k-1][x1][x2-1])+map[x1][y1];
	if(x1!=x2 || y1!=y2)
		dp[k][x1][x2] += map[x2][y2];

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define MAXN 52
using namespace std;

int dp[MAXN*2+1][MAXN][MAXN],map[MAXN][MAXN];
int Max(int a,int b){
	return a>b?a:b;
}
int max(int a,int b,int c,int d){
	int t1=Max(a,b);
	int t2=Max(c,d);
	return Max(t1,t2);
}

int main()
{
//	freopen("input.txt","r",stdin);

	int m,n,i,j,k,x1,y1,x2,y2;
	while(scanf("%d %d",&m,&n)!=EOF){
		for(i=1; i<=m; ++i){
			for(j=1; j<=n; ++j)
				scanf("%d",&map[i][j]);
		}
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		
		for(k=1; k<=n+m-1; ++k){
			for(x1=1; x1<=k; ++x1){
				for(x2=1; x2<=k; ++x2){
					y1=k+1-x1;
					y2=k+1-x2;

					dp[k][x1][x2]=max(dp[k-1][x1][x2],dp[k-1][x1-1][x2-1],
						dp[k-1][x1-1][x2],dp[k-1][x1][x2-1])+map[x1][y1];
 	
					if(x1!=x2 || y1!=y2)
						dp[k][x1][x2] += map[x2][y2];
				}
			}
		}
		printf("%d\n",dp[m+n-1][m-1][m]);
	}
	return 0;
} 

MatrixHDU 2686http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2686

和传纸条类似

四维数组方法：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define MAXN 52
using namespace std;

int dp[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN],map[MAXN][MAXN];
int Max(int a,int b){
    return a>b?a:b;
}
int max(int a,int b,int c,int d){
    int t1=Max(a,b);
    int t2=Max(c,d);
    return Max(t1,t2);
}

int main()
{
//    freopen("input.txt","r",stdin);
    int n,i,j,x1,y1,x2,y2;
    while(scanf("%d",&n)==1){
        for(i=1; i<=n; ++i){
            for(j=1; j<=n; ++j)
                scanf("%d",&map[i][j]);
        }
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(x1=1; x1<=n; ++x1){
            for(y1=1; y1<=n; ++y1){
                for(x2=1; x2<=n; ++x2){
                    for(y2=1; y2<=n; ++y2){
                        dp[x1][y1][x2][y2]=max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2],dp[x1-1][y1][x2][y2-1],
                            dp[x1][y1-1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2][y2-1])+map[x1][y1];
                        if(x1!=x2 || y1!=y2)
                            dp[x1][y1][x2][y2] += map[x2][y2];
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[n][n][n][n]);
    }
    return 0;
}  

2.三维数组方法：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 32
using namespace std;

int dp[MAXN*2+1][MAXN][MAXN], map[MAXN][MAXN];
int max(int a,int b,int c,int d){
    int t1=a>b?a:b;
    int t2=c>d?c:d;
    return t1>t2?t1:t2;
}

int main()
{
 
    int n,i,j,k,x1,x2,y1,y2;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(i=1; i<=n; ++i){
            for(j=1; j<=n; ++j)
                scanf("%d",&map[i][j]);
        }
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(k=1; k<=2*n-1; ++k){
            for(x1=1; x1<=k; ++x1){
                for(x2=1; x2<=k; ++x2){
                    y1 = k+1-x1;
                    y2 = k+1-x2;
                    dp[k][x1][x2] = max(dp[k-1][x1][x2],dp[k-1][x1-1][x2-1],
                        dp[k-1][x1-1][x2],dp[k-1][x1][x2-1])+map[x1][y1];
                    if(x1!=x2 || y1!=y2)
                        dp[k][x1][x2] += map[x2][y2];
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[k-1][n-1][n]);    
    }
    return 0;
}

—— 生命的意义，在于赋予它意义。

原创http://blog.csdn.net/shuangde800，By D_Double